Aunque el concepto de infinito pueda parecer sencillo encierra muchas sorpresas. El matemático alemán David Hilbert ideó una historia basada en un hotel infinito para mostrar algunas de estas curiosas paradojas.

En algún turístico lugar se encuentra el hotel más grande del mundo. Dispone de infinitas habitaciones numeradas con números naturales consecutivos a partir del uno. Por tanto, existe una primera habitación, pero no una última. El Hotel Hilbert tiene fama de no dejar nunca a ningún nuevo cliente sin alojamiento, aunque todos los huéspedes deben aceptar cambiar de habituación durante su estancia si así es requerido por los empleados del establecimiento.

En temporada alta el hotel suele estar al completo, habiendo infinitos huéspedes alojados en el mismo. En estas condiciones, si llega un nuevo huésped ¿Sería posible alojarlo sin desalojar a nadie?

Para solucionarlo el recepcionista informa a todos los clientes que deben mudarse a la habitación contigua; es decir, el huésped de la habitación 1 pasa a la 2, el cliente de la 2 a la habitación 3, y así sucesivamente. En general, el huésped alojado en la habitación n debe mudarse a la habitación n+1. De esta ingeniosa manera la primera habitación queda libre para alojar al recién llegado. Realmente este es un sistema para alojar cualquier número finito de nuevos clientes. Tan solo será necesario desplazar un número determinado de veces a los huéspedes a la habitación contigua. Si aparecen nuevos m clientes, cada uno de los alojados pasaría a la habitación n+m, dejando libres las m primeras habitaciones.

Supongamos ahora que aparece en el hotel un grupo de infinitos clientes solicitando habitación. ¿Sería posible alojarlos a todos, según reza la publicidad del hotel? En estos casos a cada huésped alojado se le pide que se traslade a la habitación cuyo número es el doble de la actual, de la 1 a la 2, de la 2 a la 4 y así sucesivamente. Es decir, el huésped alojado en la habitación n, debe mudarse a la habitación 2n. De esta forma todas las habitaciones impares quedan libres, y habiendo infinitos números impares, es posible alojar a todos los nuevos clientes.

Aún queda el caso más complicado. Llega al hotel una excursión compuesta por infinitos autobuses, en cada uno de los cuales viajan infinitos turistas, y por supuesto, todos pretenden alojarse en el famoso hotel. La solución es un poco más compleja, pero posible. Inicialmente cada huésped debe trasladarse a la habitación de número doble, exactamente igual que en el caso anterior, dejando libres todas las habitaciones impares. Ahora asignamos a cada autobús un número primo (3, 5, 7, 11, etc); siendo infinitos los números primos no hay problema en ello. Además recuérdese que los números primos, al ser únicamente divisibles por sí mismo y la unidad, siempre son impares. Luego cada excursionista n, de cada autobús p, es alojado en la habitación pn. Al ser infinitos los números impares, y siendo infinitos los números primos y todas sus potencias, es posible alojar a todos.

Referencias

Gaussianos: Qué extraño es el infinito
Joaquín Navarro: Los secretos del número pi (capítulo 2)
Juan Manuel Ruisánchez: El gran hotel Cantor, un hotel infinito

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