¿Cuántas personas hacen falta reunir para asegurar que al menos dos de ellas coincidan en su cumpleaños? (ignorando años bisiestos para simplificar). La respuesta es sencilla: 366. En el peor de los casos cada persona habrá nacido en una fecha distinta, lo que suman 365 individuos; el siguiente necesariamente habrá de coincidir con algún otro.

¿Y Cuántas personas hacen falta para que la probabilidad de coincidencia sea superior al 50%? Dicho de otro modo ¿A partir de cuantas personas es más probable que haya coincidencia a que no la haya? No son desde luego 183 (mitad del valor anterior). La inesperada respuesta es 23. En este tipo de problemas habitualmente se busca el valor clave del cincuenta por ciento porqué la intención suele ser averiguar en qué momento la probabilidad de un suceso se hace mayor que la probabilidad del suceso contrario. En nuestro caso a partir de 23 individuos ya es más probable encontrar cumpleaños coincidentes en el grupo que no encontrarlos. También significa que la mitad de las veces que se reúnen 23 personas, dos de ellas cumplen años el mismo día.

Este valor suele sorprender ya que a juicio de nuestra intuición la cantidad de personas debería ser mucho más alta. Sin embargo la demostración del resultado es relativamente sencilla y los matemáticos prefieren referirse a la cuestión como problema del cumpleaños puesto que no existe contradicción lógica ni matemática en el proceso.

El origen de la paradoja está en la frecuente confusión entre acontecimientos genéricos y acontecimientos concretos. Hallar en una ristra de cifras aleatorias, como podrían ser los decimales de Pi, cualquier número con sentido para nosotros es mucho más probable que encontrar nuestro número de teléfono por ejemplo. La probabilidad de ocurrencia de un suceso genérico siempre será significativamente mayor que la de un suceso concreto.

Volviendo al problema inicial, si tratásemos de encontrar a alguien con nuestro mismo cumpleaños o coincidente con alguna fecha concreta necesitaríamos un grupo bastante más numeroso para obtener altas probabilidades de acierto. De hecho serían necesarias al menos 254 personas para que fuese más probable que improbable (un valor más acorde con nuestra intuición). Sin embargo, al buscar simplemente dos personas cualesquiera cuyos cumpleaños coincidan dentro del grupo, las probabilidades de éxito aumentan rápidamente. Con 23 personas ya alcanzamos el umbral de mayor probabilidad, con 40 individuos las probabilidades de coincidencia son casi del 90% y con 57 integrantes ¡del 99%! Esto quiere decir que en cualquier grupo aleatorio de aproximadamente 60 personas que podamos formar (una clase, amigos de facebook, empleados de una empresa, reuniones sociales) es casi seguro que encontraremos al menos dos individuos que celebran su cumpleaños el mismo día.

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Probabilidad de coincidencia (eje y) según número de personas reunidas (eje x)

Para que los cálculos referidos sean correctos las fechas de cumpleaños deberían estar uniformemente distribuidas entre personas escogidas al azar. Aunque en el mundo real las estadísticas muestran que se producen más nacimientos durante los meses de verano, la diferencia no es tan grande como para que los resultados no puedan aplicarse de forma generalizada.

Referencias

John Allen Paulos: El hombre anumérico (capítulo 2)
Tony Crilly: 50 Cosas que hay que saber sobre Matemáticas (capítulo 33)
Pere Grima: La certeza absoluta y otras ficciones (capítulo 2)

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